Sistem Persamaan Linier 2, 3, Variabel

A. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel


Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.
Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah:
ax + by = c
dimana = x dan y adalah variabel

B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:
ax + by = c
px + qy = d
dimana: x dan y disebut variabel
a, b, p dan q disebut koefisien
c dan r disebut konstanta

C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Metode Eliminasi

Pada metode eliminasi, untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, caranya adalah dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya. Perhatikan bahwa jika koefisien dari salah satu variabel sama maka kita dapat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut, untuk selanjutnya menentukan variabel yang lain.

Contoh:
Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 !
Penyelesaian:
2x + 3y = 6 dan x – y = 3
Langkah I (eliminasi variabel y)
Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan
x – y = 3 dikalikan 3.
2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6
    x – y = 3 × 3 3x – 3y = 9
                                  5x = 15
                                    x = 15/5
                                    x = 3
Langkah II (eliminasi variabel x)
Seperti langkah I, untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan
x – y = 3 dikalikan 2.
2x + 3y = 6 ×1 2x + 3y = 6
    x – y = 3 ×2 2x – 2y = 6
                                 5y = 0
                                   y = 0/5
                                   y = 0
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3,0)}.

2.   Metode Substitusi

Metode Substitusi Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, terlebih dahulu kita n yatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian menyubstitusikan (menggantikan) variabel itu dalam persamaan yang lainnya.

Contoh:
Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x +3y = 6 dan x – y = 3 !
Penyelesaian:
Persamaan x – y = 3 ekuivalen dengan x = y + 3. Dengan menyubstitusi persamaan x = y + 3 ke persamaan 2x + 3y = 6 diperoleh sebagai berikut:
        2x + 3y = 6
<=> 2 (y + 3) + 3y = 6
<=>     2y + 6 + 3y = 6
<=>             5y + 6 = 6
<=>       5y + 6 – 6 = 6 – 6
<=>                   5y = 0
<=>                     y = 0
Selanjutnya untuk memperoleh nilai x, substitusikan nilai y ke persamaan x = y + 3, sehingga diperoleh:
             x = y + 3
<=> x = 0 + 3
<=> x = 3
Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(3,0)}

3.  Metode Gabungan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode gabungan, kita menggabungkan metode eliminasi dan substitusi.

Contoh:
Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !
Penyelesaian:
Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh.
    2x - 5y = 2 ×1 2x - 5y = 2
     x + 5y = 6 ×2 2x +10y = 12
                                  -15y = -10
                                       y = (-10)/(-15)
                                       y = 2/3
Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh.
             x + 5y = 6
<=> x + 5 (2/3) = 6
<=>   x + 10/15 = 6
<=>                 x = 6 – 10/15
<=>                 x = 22/3
Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(2 2/3,2/3)}
 

PERSAMAAN LINIER 3 VARIABEL

Persamaan Linier 3 variabel Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
Paling sedikit ada lima cara. yaitu
•    Eliminasi
•    Substitusi
•    Grafik

Sebagai contoh, marilah kita coba untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini
x    +    y    −    z    =    1        (1)
8x    +    3y    −    6z    =    1        (2)
−4x    −    y    +    3z    =    1        (3)
 

Metode eliminasi
Metode ini bekerja dengan care mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.
Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunyai koefisien yang sama (baik positif maupun negatif) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3). Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat menjumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4).
x    +    y    −    z    =    1        (1)
−4x    −    y    +    3z    =    1        (3)
-------------------------    +
−3x              +    2z    =    2        (4)
Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan (4). Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan menghilangkan y dari persamaan (1) dan (2). Dalam persamaan (1) dan (2), koefisien untuk y adalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1).
x    +    y    −    z    =    1        (1)         × 3        3x    +    3y    −    3z    =    3        (1)
8x    +    3y    −    6z    =    1        (2)        8x    +    3y    −    6z    =    1        (2)
    -------------------------    -
    −5x              +    3z    =    2        (5)
Dengan persamaan (4) dan (5), mari kita coba untuk menghilangkan z.
−3x    +    2z    =    2        (4)         × 3        −9x    +    6z    =    6        (4)
−5x    +    3z    =    2        (5)         × 2        −10x    +    6z    =    4        (5)
    -------------------------    −
    x              =    2        (6)
Dari persamaan (6) kita dapatkan x = 2. Sekarang kita bisa subtitusikan (masukkan) nilai dari x ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.
−3(2) + 2z    =     2        (4)
−6 + 2z    =     2   
2z    =     8   
z    =     8 ÷ 2   
z    =     4   
Akhirnya, kita substitusikan (masukkan) nilai dari z ke persamaan (1) untuk mendapatkan y.
2 + y − 4    =     1        (1)
y    =     1 − 2 + 4   
y    =     3   
Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah x = 2, y = 3, z = 4.

Metode substitusi
Pertama-tama, marilah kita atur persamaan (1) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.
x = 1 − y + z    (1)
Sekarang kita substitusi x ke persamaan (2).
8(1 − y + z) + 3y − 6z    =     1        (2)
8 − 8y + 8z + 3y − 6z    =     1   
−5y + 2z    =     1 − 8   
−5y + 2z    =     −7        (4)
Dengan cara yang sama seperti di atas, substitusi x ke persamaan (3).
−4(1 − y + z) − y+ 3z    =     1        (3)
−4 + 4y − 4z − y+ 3z    =     1   
3y − z    =     1 + 4   
3y − z    =     5        (5)
Sekarang kita atur persamaan (5) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.
z = 3y − 5    (6)
Kemudian, substitusi nilai dari z ke persamaan (4).
−5y + 2(3y − 5)    =     −7        (4)
−5y + 6y − 10    =     −7   
y    =     −7 + 10   
y    =     3   
Sekarang kita sudah tahu nilai dari y, kita dapat masukkan nilai ini ke persamaan (6) untuk mencari z.
z    =     3(3) − 5        (6)
z    =     9 − 5   
z    =     4   
Akhirnya, kita substitusikan nilai dari y dan z ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai x.
x    =     1 − 3 + 4        (1)
x    =     2   
Jadi, kita telah menemukan solusi untuk sistem persamaan linier di atas: x = 2, y = 3, z = 4.


Metode grafik
Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu.
Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini.
x    +    y    =    3        (1)
2x    −    y    =    −3        (2)
Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas

Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai titik potong) pada titik (0,3). Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x = 0, y = 3.
Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan.